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大跨徑懸索橋幾何非線性分析簡述
2018-05-21 
   0 引言

   懸索橋又稱吊橋,由懸索、索塔、錨碇、吊桿、橋面系等部分組成 。在有限元線性分析中假設:節點位移為無限小量;材料為線彈性,即材料的應力、應變關系滿足廣義虎克定律;加載時邊界條件的性質保持不變。當這三條假設中任意一條不能滿足時,則必須考慮結構非線性。在受力本質上懸索橋屬于柔性索懸掛體系,在正常設計荷載作用下,即使材料應力沒有超過彈性范圍,其荷載也呈現明顯的非線性關系。所以在懸索橋設計計算中必須考慮非線性影響。

   1 懸索橋幾何非線性影響因素

    從有限位移理論的角度來分析,懸索橋的非線性影響因素主要有以下三方面:

   (1)荷載作用下的結構大位移

    這是作為柔索結構的最主要的非線性影響因素。懸索橋在受外荷載作用時,不僅纜索及加勁梁發生下撓,而且吊桿也將伸長,索塔會壓縮,吊桿還將發生傾斜,節點還有水平位移,凡此種種,都對懸索橋內力產生影響。因此在進行結構分析時,力的平衡方程應依據變形后結構的幾何位置來建立。力與變形的關系是非線性的。

   (2)纜索自重垂度的影響

    在有限元法分析時,纜索單元常取為直桿單元,而實際在自身重力的作用下纜索具有一定的垂度纜索在受力后發生的變形是由彈性變形及垂度變化的非線性變形兩部分組成,其變形值將比為直桿大。

   (3)纜索初始內力的影響

   纜索在恒載作用下具有一定的初應力,使其可以維持一定的幾何形狀。當后續荷載作用時,纜索形狀發生改變,而初應力對后續狀態的變形存在著抗力,反映了纜索的幾何非線性性質。

   2 懸索橋幾何非線性分析方法及求解

   懸索橋的分析理論,主要有不計幾何非線性影響的線彈性理論,計及恒載初內力和結構豎向位移影響的撓度理論和充分考慮各種非線性影響的有限位移理論。有限位移理論是目前懸索橋結構分析中,理論上最嚴密精確和適用性好的較為完善的理論。

   2.1幾何非線性分析方法

   2.1.1幾何非線性分析的基本原理

   應用虛功原理建立非線性方程時的拉格朗日列式法分為全拉格朗日式法與更改的拉格朗日列式法兩種. 全拉格朗日列式法推導的幾何非線性方程為

   ( [ K 0 ] + [ K R] + [ K D] ) {D} = [ K T ] { D} = {R}

   式中, [ K T ] , [ K 0] , [ K R] 及[ K D] 分別為切線剛度矩陣、彈性剛度矩陣、幾何剛度矩陣及大位移剛度矩陣.

   更改的拉格朗日列式法導出的幾何非線性方程為

   ( [ K 0 ] t+ [ K R] t ){D} = [ K T] { R} = {R}

   式中[ K 0] t 及[ K R] t 分別為t 時刻的彈性剛度矩陣及幾何剛度矩陣.更改的拉格朗日列式法與全格拉朗日列式法相似, 重要區別在于沒有大位移矩陣, 并且[ K 0 ] 及[ K R] 是在t 時刻物體域中進行積分, 而全拉格朗日列式法[ K 0]、[ K R] 及[ K D] 是在未變形前, 即t= 0時刻物體域上進行積分, 因此, 更改的拉格朗日式法在每一增量結束時,必須計算結構變形后新的坐標,彈性剛度矩陣[ K 0 ] 及幾何剛度矩陣[ K R] 建立在已變形的t 時刻結構初始狀態. 工程界俗稱的非線性剛度矩陣法屬于全格拉朗日列式法, 而拖動坐標法則屬于更改的拉格朗日列式法.懸索橋主要是靠主纜的初始拉力來獲得結構剛度,更改的拉格朗日列式法更適合于懸索橋的結構計算.

   2.1.2基本步驟

   采用更改的拉格朗日列式法及New ton-Rapshon 迭代法解非線性方程的基本步驟:

   1) 以t 時刻的初始狀態, 形成t 時刻的初始切線剛度矩陣[ K T] ,荷載矩陣{R} ; 解線性方程[ K T]0{D} = {R} , 得位移{D1} 及內力{F1} , 即為位移及內力的第一次近似值;

   2) 依據{ D1} 計算結構各節點的新的整體坐標, 在新的坐標下形成彈性總剛[ K 0 ] 1及幾何剛度矩陣[ K R]1;

   3) 計算新的結點力向量{F( D1) } = [ K T ]1{ D1} ;

   4) 計算不平衡力列陣{ ΔP1} = {R } - {F( D1 )} ;

   5) 解方程[ K T ] 1 { ΔD1} = {ΔP } 1, 求出位移增量{ ΔD1 } , 得到位移的第2次近似值{ D2} ={D1 } + { ΔD1} ;

   6) 檢查收斂性, 若不滿足, 返回步驟2) , 直至ΔDi/ Di≤為止.

   2.2幾何非線性平衡方程

   2.2.1幾何非線性平衡方程的建立

   對于具有n 個自由度的彈性體系, 其非淺性平衡方程可表達為:

   = ( , ,… ,)K=1,2,…,n

   式中: 為外荷載向量的第k 個分量,為關于整體坐標的第k 個非線性函數;,,…,為整體坐標

   2,2,2幾何非線性平衡方程的求解方法

   懸索橋幾何非線性的基本計算方法:增量法、迭代法、混合法。

   (1)增量法。

   增量法是指荷載以增量的形式逐級加上去, 在每個荷載增量作用過程中假定結構的剛度是不變的, 在任一荷載增量區間內結點位移和桿端力都由區間起點處的結構剛度算出, 然后利用求得的結點位移和桿端力求出相對于增量區間終點變形后位置上的結構剛度, 作為下一個荷載增量的起點剛度。

   (2)迭代法

   迭代法是將整個外荷載一次性加到結構上, 結點位移用結構變形前的切線剛度求得, 然后根據變形后的結構計算結構剛度求得桿端力。由于變形前后的結構剛度不同, 產生結點不平衡荷載, 為了滿足結點平衡, 將這些不平衡荷載作為結點荷載作用在結點上, 計算出相對于變形后的結點位移量, 反復這一迭代過程,直至不平衡荷載小于準許值為止。

   (3)混合法

   混合法結合了荷載增量法和迭代法的優點, 混合法中初始荷載和每次循環后的不平衡荷載都是以增量的形式施加, 在每個荷載增量后對剛度作一次調整, 這樣可以加快收斂速度, 對于斜拉橋這種迭代次數要求較高的結構是很適宜的。

   2.2.3收斂準則

   采用位移收斂準則和失衡力收斂準則同時控制迭代次數。

   位移收斂準則要求所有節點第i 次迭代所得位移增量與總位數之比小至給定精度為止, 即: Max≤

   失衡力收斂準則要求所有節點第i 次迭代所得失衡力與總荷載之比小至給定精度為止, 即: Max≤

   參考文獻

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   [2]華孝良, 徐光輝. 橋梁結構非線性分析[M ] . 北京: 人民交通出版社, 1997.

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